Om sneda parabler

Bestäm arean av den ”stjärna” ✧ som begränsas av kägelsnittet (parabeln) med brännpunkten (2,2) och styrlinjen (disektrisen) y=-x och dess speglingar i xaxeln, yaxeln och origo.

parabel-001

Den allmänna formen för ett kägelsnitt (cirkel, ellips, hyperbel, parabel ) är ekvationen

Conic section - clean

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

och ett villkor för att detta är en parabel är att ”(kägelsnitts)diskriminanten”
är 0 \text{ mao. } D' = B^2 - 4AC = 0


( På min CAS räknare hittade jag också kägelsnitt – analysera graf – excentricitet, som för parabeln skall bli 1 ).

Oftast jobbas det med parabler som öppnar sig uppåt, nedåt, till vänster och till höger. Dessa parabler vars symmetriaxel alltid är parallell med x- eller yaxeln är så vanliga att jag observerat att alla inte verkar veta om att en parabel kan vara sned och innehålla en xy – term. Dessutom kan uppgiften väcka intresse för analytisk geometri och vara en liten introduktion till matrisräkningens användningsmöjligheter.

En vanlig parabel med yaxeln (dvs x=0) som symmetriaxel är alltså ett specialfall av ett ”kägelsnitt” så att
Ax^2 + Dx - 1\cdot y + F = 0 \Leftrightarrow y = Ax^2 + Dx + F ( där B=C=0 \text{ och } E=1 )
Vi testar att det är en parabel genom att räkna ut D' = 0^2 - 4\cdot A\cdot 0 = 0 och

Och en vanlig ”liggande” parabel med xaxeln (dvs y=0) som symmetriaxel är alltså ett specialfall av ett ”kägelsnitt” så att
Cy^2 - x + Ey + F = 0 \Leftrightarrow x = Cy^2 + Ey + F
där A=B=0 \text{ och } D=1 och D' = 0^2 - 4\cdot 0\cdot C = 0

ÖVNINGSUPPIFTER

1a) Beräkna ekvationen för parabeln med brännpunkt (2,2) och styrlinje y=-x .
1b) Spegla parabeln i x- och yaxeln så den kommer upp i alla kvadranter
1c) Beräkna ytan av det stjärnformade området som begränsas av de fyra parablerna som pekar nordost NO, nordväst NV, sydväst SV och sydost SO.

LÖSNINGAR

1a) Beräkna ekvationen för parabeln med brännpunkt (2,2) och styrlinje y=-x.

Enligt parabelns geometriska definitionen det alla de punkter som är på samma avstånd till en punkt ( brännpunkten ) och till en linje ( styrlinjen).

Avståndet mellan (x,y) och (2,2) är :

d_1 = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} = \sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}

Avståndet mellan (x,y) och linjen 1\cdot x+1\cdot y+0 = 0 är :

d_2 = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2+B^2}} = \frac{|x+y|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|x+y|}{\sqrt{2}}

Vi härleder parabelns ekvationen ur sambandet för kvadraten på avståndena.

d_1^2 = d_2^2

(x-2)^2+(y-2)^2 = \frac{1}{2}(x+y)^2 || multiplicerar bägge sidor med 2

\Leftrightarrow 2 ( x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 ) = x^2 +2xy + y^2 || subtraherar höger sida från bägge sidor

\Leftrightarrow x^2 - 2xy + y^2 - 8x - 8y + 16 = 0

parabel-001

1b) Vi speglar parabeln i alla kvadranter

Första kvadranten x^2 - 2xy + y^2 - 8x - 8y + 16 = 0

11-06-2013 Skärmbild002

Andra kvadranten spegling i x=0 genom byte av x -> -x : x^2 + 2xy + y^2 + 8x - 8y + 16 = 0

Tredje kvadranten spegling i y=0 genom byte av y -> -y : x^2 - 2xy + y^2 + 8x + 8y + 16 = 0

Fjärde kvadranten spegling i x=0 genom byte av x -> -x : x^2 + 2xy + y^2 - 8x + 8y + 16 = 0

11-06-2013 Skärmbild001

1c) Bestäm ytan som begränsas av parablerna.

För att kunna beräkna ytan under kurvan skall vi rotera alla punkter (x,y) på kurvan med 45^o grader till (u,v)

En punkt kan uttryckas som x och y koordinater (x,y)
eller polära koordinaterna (R, A) med radie R och vinkel A.

\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} R\cdot \cos A \\ R\cdot \sin A \end{bmatrix}

En förflyttning \bar{d} = d_x \bar{i} + d_y \bar{j} i x och y led sker så att man adderar d_x till x och d_y till y

\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} x + d_x \\ y + d_y \end{bmatrix}

medan en rotation med vinkeln B sker så att vinkeln B adderas.

\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} R\cdot \cos (A+B) \\ R\cdot \sin (A+B) \end{bmatrix}

Men vi vet från trigonometrin att

\begin{bmatrix} u = R \cos (A+B) = R \cos A \cos B - R\sin A \sin B = x \cos B - y \sin B \\  v = R \sin (A+B) = R \sin A \cos B + R \cos A \sin B = y \cos B + x \sin B \end{bmatrix}

Vi ersätter nu B med t.

Rotation av en punkt i ett 2D koordinatsystem runt punkten (0,0) dvs origo görs behändigast med en matrismultiplikation så här
( Obs. jag betecknar nu P(x,y) efter rotation som Q(u,v) där u och v är de nya koordinaterna, då jag insåg att x’ och y’ inte
är lämpliga eftersom dessa kan förväxlas med derivatabeteckningar, som kan vara bra att ha för implicit derivering. )

\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} x \cos t - y \sin t \\ x \sin t + y \cos t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

I vårt fall skall vi beräkna nya koordinater för parabeln roterade med 45^o

För att räkna ut \sin(45^o) och \cos(45^o) används typtriangel 45-45-90.

\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} x \cos 45^o - y \sin 45^o \\ x \sin 45^o + y \cos 45^o \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} x - y \\ x + y \end{bmatrix}

Våra nya (x,y) koordinater blir

\begin{bmatrix} \sqrt{2} \cdot u \\ \sqrt{2} \cdot v \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} x - y \\ x + y \end{bmatrix}

Och placeras de in i ekvationen

x^2 - 2xy + y^2 - 8x - 8y + 16 = 0    \Leftrightarrow (x-y)^2 -8(x+y) + 16 = 0 fås

(\sqrt{2} u)^2 -8(\sqrt{2} v) + 16 = 0

\Leftrightarrow 2u^2 -8\sqrt{2}v + 16 = 0 || div 8\sqrt{2}

\Leftrightarrow v= \frac{\sqrt{2}}{8}u^2 + \sqrt{2}

Och så byter vi tillbaka till (x,y)

\Leftrightarrow y= \frac{\sqrt{2}}{8}x^2 + \sqrt{2}

Nu kan vi räkna ytan mellan parabeln och tangenten y = x, då 0 \le x \le \sqrt{8} och multiplicerar detta med 8 för att få hela ytan ✧ som består av 8 sådana bitar.

A = 8\cdot \int_{0}^{\sqrt{8}} (\frac{\sqrt{2}}{8}x^2 + \sqrt{2} - x) dx = \int_{0}^{\sqrt{8}} (\sqrt{2}x^2 + 8\sqrt{2} - 8x) dx

= (\sqrt{2}\cdot \frac{x^3}{3} + 8\sqrt{2}x - 4x^2 )\left. \right| _0^{\sqrt{8}}

= (\frac{\sqrt{2}\cdot (8\sqrt{8})}{3} + 8\cdot 4 - 4\cdot 8) - 0 = 8\cdot 4/3 = 32/3 = 10 \frac{2}{3}

Den vita ”stjärnan” ✧ som begränsas av de sneda parablerna har alltså ytan 10\frac{2}{3} rutor.

11-06-2013 Skärmbild004

11-06-2013 Skärmbild002


PS. Ett alternativt (kanske inte lika lärorikt) sätt hade varit att konstatera att kortaste avstånd mellan styrlinjen y = -x och parabeln, vars brännpunkt är F(2,2) är det vinkelräta längs y = x. Parabelns topp blir alltså i punkten (1,1) mitt på sträckan OT från origo (0,0) och |OT| = \sqrt{2} .

En motsvarande parabel vore alltså en med styrlinje y=0 och brännpunkt (0, 2\sqrt{2}) med toppen T(0, \sqrt{2}) och perimetern (avståndet mellan styrlinje och brännpunkt) p=2\sqrt{2} och koefficienten för x^2 -termen a=\frac{1}{2p} = \frac{1}{2\cdot 2\sqrt{2}} eller y = \frac{x^2}{4\sqrt{2}} + \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}x^2}{8} + \sqrt{2}


Ref. 1 – kägelsnittsdiskriminant och excentricitet

(1) wikipedia wikipedia

excentriciteten e = PM/PF = förhållandet mellan avståndet till styrlinjen och avståndet till brännpunkten för en punkt på ”kägelsnittsgrafen”.

Eccentricity.svg

Detta hittade jag i wikipedia om kägelsnitt.

Men om vi testar att multiplicera ekvationens bägge sidor med 4A \ne 0 får vi att

\Leftrightarrow 4A^2x^2 + 4ABxy + 4ACy^2 + 4ADx + 4AEy + 4AF = 0

Om nu D' = B^2 - 4AC = 0 \Leftrightarrow 4AC = B^2 får vi att

\Leftrightarrow (2Ax + By)^2 + 4ADx + 4AEy + 4AF = 0

vilket med en liten omräkning blir en parabel med yaxeln som symmetriaxel.

(2) – Typtriangel 45-45-90

En rätvinklig triangel har vinklarna (A,B,C) = ( 45^o, 45^o, 90^o ) och
motstående sidornas förhållande är a:b:c = 1:1:\sqrt{2} .

Enligt definitionen är sin(A) = a/c = 1/\sqrt{2} och cos(A) = b/c = 1/\sqrt{2}
där a är motstående sida till vinkeln A och b närliggande, medan c kallas hypotenusan.

(3) – Endast kvadrering av andragradstermerna ger oss y som symmetriaxel, men kan ge oss fel proportioner där x och y axelns skala förändrats.

\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} 2Ax + By \\ 4ADx + 4AEy \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} 2A & B \\ 4AD & 4AE \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

Om man skall beräkna en yta, kan det vara skäl att kolla hur avståndet från origo (0,0) till punkterna (0,1) och (1,0) ändras och beakta det genom att ändra skalan i x och y led, efter transformationen, så proportionerna bibehålls.

Exempel.

Man hade kunnat från sambandet x^2 - 2xy + y^2 - 8x - 8y + 16 = (x-y)^2 -8(x+y) + 16 = 0 göra tranformationen

\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x - y \\ x + y \end{bmatrix}

och testa att A(1,0) \text{ blir } \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} och att B(0,1) \text{ blir } \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}

Observera att detta förlänger enhetsvektorns längd och flyttar på

|\vec{e_x}| = |\vec{OA}| från |OA|=1 till |OA’| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}

och |\vec{e_y}| = |\vec{OB}| från |OB|=1 till |OB’|= \sqrt{(-1)^2+1^2} = \sqrt{2}

Vi kunde således också ha räknat arean för ytan mellan

x^2 -8y + 16 = 0 och |x| då -4 \le x \le 4 och skalat ned ytan med (1/\sqrt{2})^2 = 1/2 .

A = (1/2)\cdot 4\cdot \int_{-4}^{4} (\frac{x^2}{8} + 2 - |x|) dx = 2\cdot 2\int_{0}^{4} (\frac{x^2}{8} + 2 - x) dx

= 4\cdot [ \frac{4^3}{3\cdot 8} + 2\cdot 4 - \frac{4^2}{2} - 0] = 4\cdot (8/3+8-8) = 32/3 = 10 \frac{2}{3}

Annonser
Det här inlägget postades i Räkneuppgift, Uncategorized och har märkts med etiketterna . Bokmärk permalänken.

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.