Mera sneda parabler

Beräkna ytan på området som begränsas av xaxeln och 4x^2 + 4xy + y^2 +3x +5y -2 = 0

Ny uppgift

Tips : Diskriminanten (för kägelsnitt) Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

B^2 - 4AC = 16 - 4\cdot 4 \cdot 1 = 0 alltså är det en parabel.

(2x + y)^2 +3x +5y -2 = 0

Vi löser nollställena y = 0: 4x^2 + 4x\cdot 0 + 0^2 +3x +5\cdot 0 -2 = 0

\Leftrightarrow 4x^2 + 3x -2 = 0

\Leftrightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4\cdot 4 \cdot (-2)}}{2\cdot 4} = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{8}

Den som vill köra med algebra får ganska jobbiga tal att bolla med. Låt oss kolla om geometrin kan hjälpa.

1) Alternativ geometrisk lösning.

För att komma vidare räknar vi ut symmetriaxeln. Dess koefficient får vi genom att sätta kvadratuttrycket lika med noll.

2x + y = 0 \Leftrightarrow y = -2x

Om symmetriaxelns riktningskoefficient i toppen på parabeln ( som ju skär den där ) är -2 blir tangentens riktningskoefficient i toppen

k_t = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}

Bevis :

Om vi konstruerar riktningsvektorer till tangent och normalen för en kurva som \vec u=\vec i + k_t\vec j och \vec v=\vec i + k_n\vec j och dessa linjer är vinkelräta mot varandra blir skalärprodukten av vektorerna

\vec u\cdot \vec v=|u|\cdot |v|\cos (90^o) = 0 = ( \vec i + k_t\vec j )\cdot ( \vec i + k_n\vec j ) = 1 + k_t\cdot k_n

\Rightarrow k_t\cdot k_n = -1

15-06-2013 Skärmbild001e

Vi skall bara rotera, men om man velat ha symmetriaxelns ekvation kunde man ha deriverat implicit och satt derivatan i toppen till 1/2.

16-06-2013 Skärmbild007

Från geometrin vet vi att tangentens lutning fås ur utrycket

\tan \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = \arctan \frac{1}{2} \approx 26.5650511771^o

15-06-2013 Skärmbild002e

16-06-2013 Skärmbild008

Nu gäller det alltså att rotera parabeln med vinkeln \alpha eller t.

I en tidigare post introducerades detta. Rotation av en punkt i ett 2D koordinatsystem runt punkten (0,0) dvs origo görs behändigast med en matrismultiplikation så här. Jag betecknar de nya koordinaterna på (x,y) med (u,v) denna gång.

\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} x \cos t - y \sin t \\ x \sin t + y \cos t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

Vi beaktar teckenregler \sin (-\alpha) = - \sin \alpha och \cos (-\alpha) = \cos \alpha och tar värdena från typtriangeln ovan \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}  och \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}

\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} x \frac{2}{\sqrt{5}} + y \frac{1}{\sqrt{5}} \\ - x \frac{1}{\sqrt{5}} + y \frac{2}{\sqrt{5}} \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 2x + y \\ 2y - x \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

Vi multiplicerar med inversa matrisen ( du kan också bara lösa ekvationssystemet med avseende av x och y ).

\sqrt{5} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} = \frac{\sqrt{5}}{2\cdot 2 - 1(-1)} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}  = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 2u - v \\ u + 2v \end{bmatrix}

Och slutligen substituerar vi in uttryckena i ekvationen.

(2x + y)^2 +3x +5y -2 = 0

\Leftrightarrow (\sqrt{5}u)^2 +3(\frac{2u-v}{\sqrt{5}}) +5(\frac{u+2v}{\sqrt{5}}) -2 = 0

\Leftrightarrow { multiplicerar bägge sidor med \sqrt{5} }

5 u^2 \sqrt{5} + 3\cdot (2u-v) + 5\cdot (u+2v) - 2 \sqrt{5} = 0

\Leftrightarrow 5\sqrt{5} u^2 + 6u -3v +5u +10v - 2 \sqrt{5} = 0

\Leftrightarrow 5\sqrt{5} u^2 + 11u + 7v - 2 \sqrt{5} = 0

\Leftrightarrow 7v = -5\sqrt{5} u^2 - 11u + 2 \sqrt{5}

\Leftrightarrow { div 7 }

v = \frac{1}{7} (-5\sqrt{5} u^2 -11 u + 2 \sqrt{5})

\Leftrightarrow { Slutligen byter vi tillbaks till (x,y)}

y = \frac{1}{7} (-5\sqrt{5} x^2 -11 x + 2 \sqrt{5})

Men jag väljer att hålla kvar (u,v) för den bestämda integralen och de roterade
punkterna och linjerna.

Nollställena var ju A(x_A,y_A) och B(x_B,y_B)
som nu representeras av skärningspunkterna C(u_A,v_A) och D(u_B,v_B)

Allt roteras runt origo även xaxeln (y=0), som då den roteras
med -\alpha blir

v = -u/2

Våra nollställen vilka blir den bestämda integralens ändpunkter får nu xkoordinaterna.

\begin{bmatrix} u_A \\ u_B \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} x_A \cdot \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}(\frac{-\sqrt{41}-3}{8})=\frac{-\sqrt{41}-3}{\sqrt{80}} \\ x_B \cdot \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}(\frac{\sqrt{41}-3}{8})=\frac{\sqrt{41}-3}{\sqrt{80}} \end{bmatrix}

16-06-2013 Skärmbild009

Mellan kurvorna har vi

y_{parabola} - y_{linje} = \frac{1}{7} (-5\sqrt{5} u^2 -11 u + 2 \sqrt{5}) - \frac{-3.5u}{7})

= \frac{1}{7} (-5\sqrt{5} u^2 - 7.5 u + 2 \sqrt{5})

Och arean blir

A = \frac{1}{7} \int_{u_A}^{u_B} (-\sqrt{125} u^2 - \frac{15}{2} u + 2 \sqrt{5}) du

= \frac{1}{7} (-5\sqrt{5} \frac{u^3}{3} - 7.5 \frac{u^2}{2} + 2 \sqrt{5} u) |_{u_A}^{u_B}

= (- \frac{\sqrt{125}}{21}u^3 - \frac{15}{28}u^2 + \frac{\sqrt{20}}{7} u) |_{u_A}^{u_B}

= \frac{41\sqrt{41}}{336}

16-06-2013 Skärmbild010

16-06-2013 Skärmbild011

16-06-2013 Skärmbild005

16-06-2013 Skärmbild004
( otroligt men med symbolräknare kan man få exakt värde).


Alternativ 2 – Algebra

Nästa gång skall jag vara litet försiktigare med exemplena så inte uträkningarna blir (onödigt) jobbiga.

Vi söker symmetriaxeln, efter att ha räknat med papper och fastnat en del med små slarvfel med penna beslöt jag
att jag skall lösa exakta värdet och använda symbolräknaren.

15-06-2013 Skärmbild003

Vi söker toppen.

15-06-2013 Skärmbild004

Vi hittar avståndena mellan C och D där normalen till tangenten genom A och B skär tangenten.

Vi hittar kortaste avstånd från nollställena till tangenten genom toppen.

Symmetriaxeln skär xaxeln i U, mitt emellan nollställena A och B. den delar AB i samma förhållande som toppen delar CD. Eftersom lutningen på tangenten är 1/2 så är förhållandet mellan AB och CD.

AB/CD = = \frac{2}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}

15-06-2013 Skärmbild005

Slutligen räknar vi avstånden mellan punkterna C, D och T.

Det går antingen med pythagoras eller DT = \frac{2}{\sqrt{5}}\cdot AU

sned parabel-2b

15-06-2013 Skärmbild006

15-06-2013 Skärmbild008

15-06-2013 Skärmbild001

När jag mätt alla relevanta avståndena i den sneda parabeln sätter jag toppen i origo och
vänder den uppåt för att lättare kunna lösa integration med avseende på x.

Annonser
Bild | Det här inlägget postades i Uncategorized. Bokmärk permalänken.

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s