Enklare version av höstens studentuppgift 1910.

Hej här är en enklare version

$\\ \left\{\begin{matrix} & x - ay = a^2 & & & (1)\\ & x - by = b^2 & & & (2) \end{matrix}\right. \\ \\ \, \textup{Solve/Ratkaise/Lös : x,y}$

till denna uppgift.

När man löser problem och kör fast kan det vara bra att spjälka uppgiften i enklare delar och lösa dem först innan man tar itu med den.

Som uppvärmning rekommenderar jag att skippa en dimension och börja med det 2-dimenionella fallet i xy-planet :

$\\ \left\{\begin{matrix} & x - ay = a^2 & & & (1)\\ & x - by = b^2 & & & (2) \end{matrix}\right. \\ \\ \, \textup{Solve/Ratkaise/Lös : x,y}$

(1) x – ay = a²
(2) x – by = b² || mult -1
__________________
(3) -x + by = -b²

Vi adderar (1) och (3) :

(b-a)y = a² – b² =(a-b)(a+b) || div b-a≠0

(4) y = – (a+b)

Vi substituerar (4) i (1) :
x + a(a+b) = a²
x + a² +ab = a²

(5) x = -ab

SVAR : x = -ab och y= -(a+b), om a≠b

Om a≠b, har vi punkten P(-ab, -(a+b)) { (x,y) є R² | x = -ab, y= -(a+b) } som lösning.

Om a=b, har vi alla punkter på linjen { (x,y) є R² | x – ay = a² } som lösning.

PS.

Ett lineärt ekvationssystem kan betecknas så här med matriser.

$\\ Ax=b\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 1 & -a \\ 1 & -b \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a^3\\ b^3 \end{bmatrix} \\ \\ \,\,det(A)=\begin{vmatrix} 1 & -a \\ 1 & -b \\ \end{vmatrix}=1(-b)-1(-a)=a-b \neq 0\Leftrightarrow a \neq b$

Om determinanten blir noll saknas unika lösningar. Vilket är fallet ifall a=b.

Mera om lineära ekvationssyste här på MathWorld.

Märkte någon att a och b är lösningarna till andragradsekvationen p(t)=t² + yt – x = 0 ?

Denna har reella lösningar om diskriminanten
D=B²-4AC=y² + 4x = (a+b)²-4ab=(a-b)² ≥ 0 .

Således är p(t)=(t-a)(t-b) = t² -(a+b)t +ab = 0 enligt faktorsatsen och

t² + y t – x ≡ t² -(a+b) t +ab

vilket ger att:

y = -(a+b) och x = -ab

Här finns en del att grubbla över. Höll mig till reella tal. Vad händer om man tar med de imaginära dvs då polynomet p(t) saknar lösning.

Och sedan när man tar med flera dimensioner som i den ursprungliga uppgiften.

Länkar
My Academy ( matteguiden.se – linjära samband )

Litet tips om hur man skriver matteformler i kommentarer.

$latex \LaTeX&s=4\$
$\LaTeX$